Monday, January 16, 2006

Que es un logaritmo

¿Qué es un logaritmo?


Tengo unas funciones que te van a volver loco en primer lugar las logarítmicas como su nombre lo dice, son funciones que tienen en algún lado la función logaritmo, ya sea natural o común. para nuestros fin el logaritmo común de x es la potencia a la cual tienes que elevar el número 10 para encontrar x. Dicho de otra forma:
       log(x) = y   <====>  10^y = x

el logaritmo consta de tres partes: - La base (10) - El argumento (x) - El exponente (y) o sea que se trata de encontrar un pinche exponente Si cambias la base por el número " e " (2.718281828....) (La constante de Euler) obtienes el sacrosanto LOGARITMO NATURAL


ln


(APLAUSOS)

los logaritmos los utilizas ( mas bién los utilizabas, pues los inventó Napier cuando todavía existían las tablas astronómicas) para convertir multiplicaciones y divisiones en simples y llanas sumas y restas. de esta forma
     ln x*y = ln x + ln y
ln x/y ln x - ln y
en donde x Y y son variables, funciones o constantes además
    e^ln x  = x

ln e = 1

ln x^n = n ln x

n es constante, variable, ° incluso una función ! si ln x = y, entonces log x = y* log e (cambio de base) Otras propiedades:
   Log    x    =    log    x
(a) (b)
------------ cambio de base
log a
(b)

proporcionalidad directa:
  log x   =  c* log   x    ( c  es una constante )
(a) (b)
Producto de dos logaritmos
  Log    b *  Log  c  =       log   c
(a) (b) (a)
recíproco
                         1
log b = _________
(a) log a
(b)
base con una potencia
   log    x   =              1
(a^n) - * log x
n (a)
base y argumento a la misma potencia
   log    x^n  =   log  x
(b^n) (b)
d ln x / dy = 1 / x (la derivada del logaritmo natural de x es igual a 1 sobre x) Esto es lo más importante de los logaritmos pues te salva de hacer miles de derivadas.
el caso general es el siguiente


Dx ( ln (f(x)) ) = f'(x) / f(x)

la derivada del logaritmo de una función es igual a la derivada de la función entre la función.

por ejemplo cuando te piden derivar una función, digamos:
y = (sin x)^cos(x^2),

primero le sacas logaritmo natural a ambos lados:
ln y = ln( sin(x)^cos(x^2))
ln y = cos(x^2) * ln( sin x )

ahora derivas ambos lados (derivación implícita)
y'/ y = -sin(x^2)* 2x*ln( sin x ) + cos x /sin x* cos( x^2 )

como y = sin(x)^cos( x^2), entonces despejas,reduces, factorizas, ojos de mosca y patas de araña:

y'= sin x^ cos x^2 (-2x sin x^2 ln sin x + tan x cos x^2)

la derivada de un logaritmo en cualquier base de una función es igual a la derivada de la función entre la función multiplicada por el logarimo natural de la base.
ejemplo:

   y = log u
y' = u'
-------
u ln 10
la derivada de una constante elevada a una función es igual a la constante elevada
a la función por la derivada de la función por el logaritmo de la constante:

   y = a^u
y' = a^u * u' * ln a


El número " e " es el límite a la sumatoria desde k = 0 hasta n cuando n tiende a infinito, de la función k / k!

___ n k
\. ---- = e
/__ k=0 k!

Ejemplo:
n sumatoria
1 1
2 2
3 2.5
4 2.666666667
5 2.708333333
6 2.716666667
7 2.718055556
8 2.718253968
9 2.71827877
10 2.718281526
11 2.718281801
12 2.718281826



Y ahora un cuentecito de magia

Al principio era el caos la tierra estaba en tinieblas, la trigonometría era cosa de eruditos y era casi imposible calcular ciertas funciones sin hacer uso de ciertas tablas. Entonces Taylor dijo: "Nos podemos aproximar a un punto de una función si encontramos una serie polinomial que puede ser tan larga como queramos" Entonces tomó lápiz y papel y escribió:
                  n
_____ _
.__ \. ) (k)
..) ___ \ --
n (x) --- ./ (a)
/_____ k
k = 0 ---------- (X - a)

k!

Que significa lo mismo que decir que el punto "n" de una función evaluada
en "x" es igual a la suma desde k =0 hasta "n" de la derivada de grado "k" evaluada
en un punto aleatorio "a" dividida por k! y multiplicada por el valor de "x-a"
elevado a la potencia "k". cierto tipo le preguntó para que servía esa tontería y
lo que hizo fué que escogió una función: El seno; un punto al azar ( el 0 ) después
sustituyó factorizó simplificó y obtuvo lo siguiente:



3 5 7 9 11 13
x x x x x x
sin x = x - --- + --- - --- + --- - --- + --- ......
3! 5! 7! 9! 11! 13!
en sumatoria
              n
------- (2k +1)
\. X
\ (-1) ------------
./ (2k +1)!
/______
k= 1

y así puedes obtener la serie de las trigonométricas, hiperbólicas, logarítmicas y demás demonios.
( De hecho las calculadores realizan series sucesivas). Aquí tienes algunas series comunes, la notación sigma te la debo.


2 4 6 8 10 12
x x x x x x
cos x = 1 - --- + --- - --- + --- - --- + --- .......
2! 4! 6! 8! 10! 12!


2 3 4 5 6 7
x x x x x x x
e = 1 + x + --- + --- + --- + --- + --- + --- ......
2! 3! 4! 5! 6! 7!

3 5 7 9 13
x x x x x
sinh x = x + --- + --- + --- + --- + --- + ........
3! 5! 7! 9! 13!


2 4 6 8 10
x x x x x
cosh x = 1 + --- + --- + --- + --- + --- ........
2! 4! 6! 8! 10!



1 3 1 5 1 7
arctan x = x - -- x + -- x - -- x + ........
3 5 7


c c(c-1) 2 c(c-1)(c-2) 3 c(c-1)(c-2)(c- 3) 4
(1+x) = 1 + cx + ------ x + ----------- x + ----------------- x
2! 3! 4!


esta se parece a la fórmula polinomial de Newton.

1 comment:

Anonymous said...

capto capto y medio